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Eine Beschränkung in der formalen Logik

Einige der größten Denker wollten die Natur der mathematischen Beweisführung bestimmen, um ihr Verständnis des Begriffes „Beweis“ in der Mathematik zu verbessern. Mit diesem Ziel versuchten sie den Denkprozess der menschlichen Beweisführung, wie er in der Mathematik verwendet wird, zu codieren. Sie nahmen an, dass Logik und Mathematik verknüpft sind und dass Mathematik ein Zweig der Logik sein kann und umgekehrt. Sie dachten, dass die Art der deduktiven Logik der Geometrie für die Mathematik angewandt werden kann, in dem alle wahren Aussagen eines Systems aus einer Basis von einer kleinen Menge von Axiomen abgeleitet werden können.

„Die axiomatische Entwicklung der Geometrie hinterließ einen mächtigen Eindruck bei den Denkern aller Zeitalter; weil die relativ kleine Anzahl an Axiomen das ganze Gewicht der unerschöpflichen Anzahl an Lehrsätzen trägt, die aus ihnen abgeleitet werden können. Aus diesen Gründen erschien die axiomatische Form der Geometrie vielen außergewöhnlichen Denkern als das Modell wissenschaftlichen Wissens schlechthin“ (aus Gödel`s Beweis, S.3).

Jedoch ist bekannt, dass inhärente Paradoxien in der Logik existieren. Und eine Anzahl an Paradoxien wurde auch in der Mengenlehre entdeckt, wie z.B. Russels Paradox.. Diese Paradoxien haben alle zwei Dinge gemeinsam: Selbstreferenz und Widerspruch. Ein einfaches und gut bekanntes Paradox ist das Lügenparadoxon, wie „ich lüge immer“. Aus dieser Aussage folgt, falls ich lüge, sage ich die Wahrheit; und wenn ich die Wahrheit sage, lüge ich. Die Aussage kann weder wahr noch falsch sein. Sie macht einfach keinen Sinn. Aus der Entdeckung der Paradoxien in der Mengenlehre vermuteten Mathematiker, dass es ernsthafte Unvollständigkeiten in anderen Zweigen der Mathematik geben müsse.

„Diese Dinge in den Grundlagen der Mathematik waren verursachend für das große Interesse in dem Codieren menschlicher Beweisführung, das in der frühen Hälfte des zwanzigsten Jahrhunderts präsent war. Mathematiker und Philosophen begannen ernsthaft daran zu zweifeln, ob nicht sogar die realsten Theorien, wie das Studium der ganzen Zahlen (die Zahlentheorie), auf soliden Fundamenten aufgebaut sind. Wenn Paradoxien so einfach auftauchen wie in der Mengenlehre – einer Theorie, dessen grundlegendes Konzept, die Menge, sicherlich spontan sehr gefällig ist – können sie dann nicht auch in anderen Zweigen der Mathematik existieren?“(Aus Gödel, Echer, Bach S. 23).

Logiker und Mathematiker versuchten diese Probleme zu umgehen. Einer der berühmtesten Versuche war der von Bertrand Russell und Alfred North Whithehead in deren Mammutwerk „Principia Mathematica“. Sie erkannten, dass alle Paradoxien Selbstreferenz und Widerspruch enthielten. Und sie erdachten sich ein hierarchisches System, das beides nicht erlaubt. Principia Mathematica hatte grundsätzlich zwei Ziele: (1) Eine vollständige mathematische Methode zu liefern, die alle Mathematik aus einer endlichen Menge an Axiomen ableitet und (2) konsistent ist, ohne Paradoxien.

Zu jener Zeit war es unklar, ob Russell und Whithehead wirklich ihr Ziel erreichen würden. Viel stand auf dem Spiel. Die Grundlagen der Logik und Mathematik selber schienen auf schwankendem Grund zu stehen. Und es gab große Anstrengungen, weltweit führende Mathematiker einzubeziehen, um die Arbeiten von Russell und Whithehead zu verifizieren.

„…[David Hilbert] stellte die Weltgemeinschaft der Mathematiker vor diese Herausforderung:
rigoros zu beweisen, dass das in Principia beschriebene System sowohl konsistent (widerspruchsfrei) als auch vollständig ist, z. B. dass jede wahre Aussage aus der Zahlentheorie aus dem in (Principia Mathematica) beschriebenen Rahmenwerk abgeleitet werden kann.“( Aus Gödel,Escher,Bach.S.24)

1931 wurde die Hoffnung in diesen großen Versuch von Kurt Gödel mit der Veröffentlichung seiner Abhandlung „Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I“ zerstört. Gödel deckte eine inhärente Begrenzung auf, nicht nur in Principia Mathematica, sondern in jedem denkbaren axiomatischen System, das versucht die Macht der Arithmetik zu modellieren. Arithmetik, die Theorie der ganzen Zahlen, wie Addition und Subtraktion, ist der fundamentalste und älteste Teil der Mathematik, der, wie wir wissen, große praktische Bedeutung hat.

Gödel bewies, dass solch ein formales axiomatisches System, das versucht Arithmetik zu modellieren, nicht beides gleichzeitig sein kann, konsistent und vollständig. Der Beweis ist bekannt als Gödels Unvollständigkeitstheorem. Es gäbe nur zwei Möglichkeiten in solch einem formalen System:
(1) Wenn es vollständig ist, kann es nicht konsistent sein. Und das System wird Widersprüche enthalten, so wie das Lügenparadox.
(2) Wenn das formale System konsistent ist, kann es nicht vollständig sein. Und das System kann nicht alle Wahrheit des Systems beweisen.

Bei sehr einfachen formalen Systemen existiert diese Begrenzung nicht. Ironischerweise, wenn das System mächtiger wird, wenigstens so mächtig, um Arithmetik zu modellieren, wird die Einschränkung von Gödels Unvollständigkeitstheorem unvermeidbar.

Einige Wissenschaftler sagen, dass Gödels Beweis für die tatsächliche Praxis wenig Bedeutung hat. Jedoch hat Roger Penrose gezeigt, dass ein anderes Theorem, Goodsteins Theorem, in Wirklichkeit ein Gödels Theorem ist, dass die Begrenztheit mathematischer Induktion bei dem Beweis bestimmter mathematischer Wahrheiten aufzeigt. Mathematische Induktion ist eine rein deduktive Methode, die für den Beweis einer unendlichen Serie von Fällen mittels endlichen Schritten der Deduktion sehr nützlich sein kann.

Es gab eine tiefere Motivation bei Gödels Bemühungen, die über Principia Mathematica und andere mehr formale Methoden hinausging. Wie bei anderen großen Mathematikern und Logikern seiner Zeit, wollte Gödel ein besseres Verständnis für fundamentale Fragen der Mathematik und Logik gewinnen: Was ist mathematische Wahrheit und was bedeutet es, sie zu beweisen? Diese Fragen bleiben noch größtenteils unbeantwortet. Ein Teil der Antwort kam mit der Entdeckung, dass einige wahre Aussagen in mathematischen Systemen nicht mit formalen ableitenden Methoden bewiesen werden können. Eine bedeutende Entdeckung innerhalb Gödels Ergebnissen deutet an, dass die Wahrheit schwächer als die Beweisbarkeit ist.

Gödels Beweis scheint zu zeigen, dass der menschliche Geist bestimmte Wahrheiten verstehen kann, die formale axiomatische Systeme nie beweisen können. Deswegen behaupten einige Philosophen und Wissenschaftler, dass der menschliche Geist nie vollständig mechanisiert werden kann.

Obwohl das Gödelsche Unvollständigkeitstheorem in der Öffentlichkeit wenig bekannt ist, wird es von Philosophen und Wissenschaftlern als eine der größten Entdeckungen der modernen Zeit betrachtet. Die fundamentale Bedeutung von Gödels Arbeit wurde viele Jahre nach ihrer Publikation anerkannt:

„Gödel wurde schließlich hoch angesehen und 1951 mit dem ersten Albert Einstein Preis für Beiträge zu den Naturwissenschaften ausgezeichnet, der höchsten Auszeichnung dieser Art in den Vereinigten Staaten. Das Preiskomitee, in dem sich Albert Einstein und J. Robert Oppenheimer befanden, beschrieb sein Werk als „eine der größten Leistungen der Wissenschaft in der modernen Zeit“ (Aus Gödels Beweis).

Eine Begrenzung in der Philosophie

Philosophie ist sehr dynamisch und scheint keine strikten Regeln und Begrenzungen zu haben. Es scheint, dass Philosophie keine vordefinierten Grenzen in ihren zu untersuchenden Gebieten hat und dass sie gleich gut die Natur der Wissenschaft, Kunst und Moral kritisch untersuchen kann. Philosophie war Geburtshelfer der modernen Wissenschaft und beeinflusste die vertrautesten und essentiellsten Hilfsmittel der modernen Wissenschaft, wie die Logik und die wissenschaftliche Methodik. Es scheint, dass Philosophie frei ist, so frei wie das Denken in ihrer Ausdehnung, nur durch die Einbildungskraft begrenzt. Und einige Philosophen hofften, dass sie mit Hilfe der Wissenschaft schließlich die Natur des Universums verstehen lernen.

Jedoch Tausende von Jahren nach den antiken griechischen philosophischen Spekulationen wurde die große Hoffnung und der Optimismus in der Philosophie schließlich für immer durch die Philosophie eines Mannes zerstört. Immanuel Kant, 22. April 1724 geboren, verursachte in seinen späteren Jahren eine vergleichsweise kopernikanische Revolution in der Philosophie. Er wird als der einflussreichste moderne Philosoph betrachtet. Über ihn schrieb der Poet Heine:

„Die Lebensgeschichte des Immanuel Kant ist schwer zu beschreiben, da er fast weder Leben noch Geschichte hatte, weil er ein mechanisch geordnetes, abstraktes Junggesellenleben führte, in einer ruhigen abgelegenen Straße von Königsberg, einer alten Stadt an der Nordostgrenze Deutschlands. Ich glaube nicht, dass die große Turmglocke der dortigen Kathedrale ihre tägliche Arbeit leidenschaftsloser und regelmäßiger verrichtete als ihr Mitkämpfer Immanuel Kant. Aufstehen, Kaffee trinken, Schreiben, Universitätsartikel lesen, essen, spazieren gehen, all das hatte seine feste Zeit, und die Nachbarn wussten, dass es exakt halb Vier war, wenn Immanuel Kant in seinem großen Mantel und dem Bambusspazierstock das Haus verließ und zu der Lindenallee ging, die noch immer in seinem Gedenken Philosophenweg genannt wird….ein fremder Kontrast zwischen dem äußeren Leben des Mannes und seinen zerstörenden weltumstürzenden Gedanken! Wenn die Bürger von Königsberg wirklich die wahre Bedeutung seiner Gedanken erahnt hätten, würden sie bei dem Erlebnis seines Erscheinens einen größeren Schrecken empfunden haben als bei einem Henker, der nur Menschen tötet.“ (aus Das Zeitalter der Ideologie, S. 27-28).

1781 veröffentlichte Kant in der „Kritik der reinen Vernunft“ seine welterschütternden Gedanken. Es war über 800 Seiten lang. Es war eine kritische und rigorose Untersuchung „der reinen Vernunft“. Wenn – nach Kant – die reine Vernunft jenseits der möglichen menschlichen Erfahrung geht, wird sie unvermeidbar in Widersprüche verfallen, in der Thesis und Antithesis gleichermaßen gültig sind. Betrachtet man zum Beispiel eine Frage wie, „Ist das Universum endlich oder unendlich?“, dann wird es zu der These, dass das „Universum endlich ist“, eine gleichwertige und unvermeidbare Antithese geben, dass das „Universum unendlich ist“. Ohne die Unterstützung der Erfahrung wird die reine Vernunft zu einer inhärenten Spekulation und zweifelhaft in ihrer Beziehung zur Realität. Damit hat Kant die Gültigkeit einiger der bedeutendsten philosophischen Werke der Metaphysik, denen viele über Generationen vertraut hatten, vernichtet.

In der Metaphysik haben Generationen von Philosophen verschiedene Versuche gemacht, verschiedene Darstellungen der endgültigen Natur des Universums zu geben. Nach Kant resultieren solche Versuche ein komplettes Bild des Universums abzugeben, da sie jenseits menschlicher Erfahrung gehen, in unvermeidbare Widersprüche. Und vor Kant haben Philosophen darüber ohne Ende debattiert.

Tatsächlich beabsichtigte Kant nicht, die Metaphysik zu zerstören. Stattdessen wollte er sie retten, indem er sichere Methoden der Naturwissenschaft für die Metaphysik verwendete. Kant wusste eine Menge über Naturwissenschaften, weil er auf verschiedene Arten auch ein Wissenschaftler war. Er wird auch als Begründer eines großen Bereiches in der Wissenschaft angesehen. Allen Wood schrieb:

„Als Forscher hatte Kant seine intellektuellen Arbeiten hauptsächlich den Naturwissenschaften gewidmet: mathematische Physik, Chemie, Astronomie und die Disziplin ´physikalische Geographie’, als deren Gründer er angesehen wird – die wir heute Geowissenschaft nennen würden“ (aus Grundlegende Schriften von Kant, S. xi).

Kant wollte den Status der Metaphysik auf das Niveau echter Wissenschaft heben. Ironischerweise bestand der einzige Weg den ersten Schritt zu diesem Ziel zu gehen darin, die Gültigkeit der Metaphysik durch Aufdecken ihrer Beschränkungen drastisch zu reduzieren. Daher sollte Metaphysik nicht über solche Dinge, wie die ursprüngliche Natur des Universums, spekulieren. Stattdessen sollte sie sich auf mehr praktische Dinge beschränken, die sich auf menschliche Erfahrung begründen lassen.

Die Kritik der reinen Vernunft war auch eine kritische Untersuchung der Fähigkeiten der reinen Vernunft, der Natur und Struktur des menschlichen Geistes. Mit „reiner Vernunft“ bezog sich Kant auf ein reines a priori (vor der Erfahrung) Wissen, dass keine Verflechtung mit einem a posteriori (nach der Erfahrung) Wissen besitzt. Kant glaubte, dass die Begriffe von Raum und Zeit der Euklidischen Geometrie und der klassischen Newtonschen Mechanik von einer notwendigen Synthese des a priori Wissens abgeleitet sind, die durch angeborene Charakteristiken des menschlichen Geistes bestimmt sind. Jedoch, lange nach dem Tode Kants wissen wir heute, dass er damit falsch lag. Fortschritte in der Mathematik haben gezeigt, dass sehr verschiedene Arten der Geometrie genauso gültig sein können, wie die Euklidische Geometrie. Und Einsteins Relativitätstheorie hat eine sehr unterschiedliche Sicht von Raum und Zeit aufgedeckt. Kant wäre noch mehr von der Quantentheorie überrascht, die den Begriff der Unbestimmtheit einführte, was die grundlegendsten Ansichten über Ursache und Wirkung in Zweifel brachte.

Obwohl Kant etwas veraltet ist, sind seine Hauptprinzipien zeitlos und sind genauso gültig wie damals, als er seine weltumstürzenden Gedanken veröffentlichte. Nach Kant ist der Geist kein Spiegel, der passiv die Realität aus der Sinneswahrnehmung der äußeren Welt reflektiert. Stattdessen beteiligt sich der Geist aktiv an der Verwaltung und Organisation der Sinnesdaten in Konzepte und Wahrnehmungen. Kants Unterscheidung zwischen dem a priori und a posteriori Wissen ist hier wichtig. Das a priori Wissen prädisponiert den Geist in dem, was er wahrnehmen kann. Deshalb ist die Wahrnehmung der äußeren Welt nicht bloß von der Wahrnehmung der Sinne abgeleitet. Stattdessen formt der Geist und fügt Dinge der Sinneswahrnehmung hinzu. Nach Kant ist das, was unser Geist konstruiert und wahrnimmt anders als eine nur äußere Sache. Obwohl Kant glaubte, dass Dinge objektiv außerhalb unseres Geistes existieren, folgerte er: „der Geist kann niemals das Wesen der Dinge selber wissen“.

Einige Wissenschaftler glauben, dass sie reale Dinge untersuchen. Andere Wissenschaftler sind auf höherer Stufe, sie sagen, dass sie nur die Phänomene der Dinge untersuchen. Kant geht noch einen Schritt weiter und sagt, dass Wissenschaftler auch Menschen mit den gleichen Fähigkeiten der Vernunft sind und nur die selber konstruierten Wahrnehmungen ihrer Sinne studieren. Wenn das wahr wäre, würde es die gesamten Grundlagen moderner empirischer Wissenschaft unterwandern.